2021复旦大学研究生入学考试代数卷点评
一. 求解某个线性含参方程组(大致题意)
简评: 常规计算
二. 求正交变换将
化为标准形.
简评: 常规计算
三.已知
(1)若与不互素,求所有可能的值;
(2)若可对角化,求此时的,并求出,使得是对角矩阵.
(3)若不可对角化,求此时的,并求出,使得是Jordan型矩阵.
简评: 第一问就是考虑何时特征多项式有重根，第二问如果没有重根就一定能对角化，第三问应该是算代数重数和几何重数，但是夹带着参数也不确定到底能不能算下去，而且要把具体的P算出来感觉十分麻烦，不过貌似在算特征向量的时候第三行减第一行可以消去很多t,那么估计是可行的，就是计算量大一些。
四.已知
有线性变换 , 令 , 讨论实函数的连续性.
简评: 又回到了这个问题
知道这个的话把特征值算出来，接着算核空间维数也就是算秩，观察秩和t的关系就可以了.
五.已知半正定矩阵 ,其中 分别是 阶矩阵, 分别为 维和 维列向量. 证明:
(1)
(2)上述等号成立的充分必要条件是存在非雲常数 使得 或 其中之一成立.
简评: 第一问注意到
题目所求不等式恰是右边关于t的函数的判别式
第二问首先要知道这个结论(李炯生7.9节例6)
然后通过拆分可知
于是
乘出来这就是题目要证的.
六.已知 是每个元素都大于 0 的矩阵.
(1)已知矩阵 的特征值模长都小于1， 证明: 的每个元素都是正的.
(2)若 的每行和都是 证明 : 在允许相差一个常数倍的情况下，只有一个全为 正的特征向量.
简评:第一问实际上背景是矩阵函数的幂级数展开式，特征值模长小于1就是在收敛域内有
命题的本质就浮现出来了
第二问这个特征向量就是k(1,1,...,1)，主要证明唯一性，假设存在非常数倍的，对比作差把某个1消去，剩下的会得出正数加起来=0的矛盾.
七.已知复线性空间上的线性变换满足 证明：存在一组基，使得和在这组基下的表示矩阵都是上三角阵.
简评:转化为矩阵就是的同时上三角化问题.这又是一个老生常谈的题，解答如下
后面是抽象代数以及微分几何，由于试题不完整这里就只作高等代数部分的解析。总的来说这套卷子难度有，但是比其复旦期末试题和每周一题的难度，还不能算难。前几个带参数的计算题计算量比较大，考场上不一定能静下心来算，也增加了一些难度系数。
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